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狄利克雷对勒让德说：“我发现了一种在实数范围内，值域不连续的函数。”
狄利克雷写出这个狄利克雷函数，勒让德看到这个函数有两个项求极限，一个是πx前的阶乘k!求极限，一个是k!πx上的2j中的j求极限。k求极限是在余弦函数之外的。
勒让德说：“这个函数处处不连续，那是不是都画不出来？”
狄利克雷说：“没错这个函数图像画不出，但是客观存在，还是个偶函数，值域是从0到1。”
勒让德说：“我看这样的函数恐怕连周期都没有？”
狄利克雷说：“以任意正有理数为其周期，无最小正周期。”